（2）如图，AB是圆

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.

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解析（1）过点

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，

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的直线方程为

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，

则原点O到该直线的距离

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，

由

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，得

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，解得离心率

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.

（2）解法一：由（1）知，椭圆E的方程为

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.①

依题意得，圆心

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是线段AB的中点，且

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.

易知，AB与x轴不垂直，设其方程为

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，代入①得

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设

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，

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

，

则

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，

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

.

由

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，得

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，解得

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.

从而

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.

于是

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.

由

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

，得

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，

解得

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

.

故椭圆E的方程为

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

.

解法二：由（1）知，椭圆E的方程为

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

.②

依题意得，点A，B关于圆心

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对称，且

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.

设

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

，

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

，

则

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

，

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

，

两式相减开结合

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，

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

，得

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易知AB与x轴不垂直，则

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

，

所以AB的斜率

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.

因此直线AB的方程为

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，

代入②得

椭圆：定义，标准方程，重要二级推论，及其相关问题解法（最新发布）

.

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