A．2024年6月1日至2024年10月10日双方不存在劳动关系
B．该劳动关系终止后，甲公司应向陈某支付经济补偿
C．应视为自2024年7月1日起甲公司已与陈某订立无固定期限劳动合同
D．甲公司应书面通知陈某终止劳动关系
参考答案B,D
解析:（1）选项A：用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。
（2）选项BD：自用工之日起超过1个月不满1年，劳动者不与用人单位订立书面劳动合同，用人单位应当书面通知劳动者终止劳动关系，并向劳动者支付经济补偿金。
（3）选项C：用人单位自用工之日起满1年未与劳动者订立书面劳动合同，视为自用工之日起满1年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，应立即与劳动者补订书面劳动合同。