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解析:1．人民法院应当受理。因为约定对人身关系受到侵害提交仲裁，超出了仲裁范围，该协议属于无效仲裁协议。
2．本案中人民法院在诉讼程序上的错误有：(1)甲区人民法院有管辖权，不应当将案件移送给乙区人民法院。因为根据法律规定，名誉权案件由侵权行为地或者被告住所地人民法院管辖；而侵权行为地包括侵权行为实施地和侵权结果发生地。因此，京城的甲、乙、丙、丁四个区法院都有管辖权。(2)陈某和李某应当以诉讼代表人的身份参加诉讼。(3)张某的文章属于职务作品，根据最高人民法院《关于审理名誉权案件若干问题的解答》的规定，张某不应该作为被告，而是由其所在报社作为被告。
3．可以。陈某在上诉期内撤回上诉的，之后不得再次上诉，上诉期满没有其他当事人上诉的，该一审判决发生法律效力。
4．应当不予准许其撤诉，继续审理。在第二审程序中，当事人申请撤回上诉，人民法院经审查认为一审判决确有错误或者当事人之间恶意串通损害国家利益、社会公共利益、他人合法权益的，不应准许。
5．二审人民法院应当仅对上诉状中载明的请求事项进行审查，即只审查陈某的上诉内容。本案二审人民法院对一审本诉部分的判决如认为不当，可以依法改判。
6．李某不能不等二审判决结果而要求执行一审判决。因为法院判决是一个整体，由于原告陈某提起上诉，使一审判决并没有发生法律效力，所以不能作为对当事人进行执行的根据：且二审法院如果发现上诉请求以外原判决确有错误的，也应该予以纠正。一审判决中针对李某的部分有可能被二审法院认为有错误或者改判。
7．本案被告人在一审程序中未提出反诉，而在二审程序中提出反诉，二审人民法院应当就反诉进行调解，调解不成应当另行起诉。双方当事人同意由第二审人民法院一并审理的，第二审人民法院可以一并裁判。
8．陈某、报社和张某达成和解协议后，其做法有二：(1)可要求二审人民法院制作调解书；(2)陈某可以向二审人民法院申请撤诉。
9．应当制作调解书。根据《民事诉讼法》第179条的规定，二审人民法院审理上诉案件，可以进行调解。调解达成协议，应当制作调解书，由审判人员、书记员署名，加盖人民法院印章。调解书送达后，原审人民法院的判决即视为撤销。
10．若二审中人民法院改判本诉请求与反诉请求都成立，本诉与反诉两部分对赔偿损失的部分可以在执行中进行抵销。而对于判决本诉被告和反诉被告向对方当事人赔礼道歉不能相互抵销。因为抵销不能消除侵害名誉权的影响，而且赔礼道歉这种承担民事责任的方式不能像赔偿损失那样进行量化。