第七章——复利终值与现值
一、复利终值
复利终值指一定量的货币，按复利计算的若干期后的本利总和。复利终值的计算公式如下：
【例题】某人将100元存入银行，年利率2%，复利计息，求5年后的终值。已知（F/P，2%，5）=1.1041。
答案：
F=P(1+i)n=100×（1+2%）5=110.41（元）或F=P×(F/P，i，n)=100×(F/P，2%，5)=100×1.1041=110.41(元)。
二、复利现值
复利现值指未来某期的一定量的货币，按复利计算的现在价值。复利现值的计算公式如下：
【例题】某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利率2%的情况下，现在应存入金额是多少？已知（P/F，2%，5）=0.9057。
答案：
P=F/（1+i）n=100/(1+2%)5=90.57(元)
或P=F×（P/F，i，n）=100×（P/F，2%，5）=100×0.9057=90.57(元)。
知识点一一九 年金★★★
第七章——年金
年金是指间隔期相等的系列等额首付款，包括普通年金、预付年金、递延年金、永续年金等形式。
一、普通年金的计算
普通年金是年金的最基本形式，它是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称为后付年金。
1、普通年金现值的计算
【例题】某投资项目于2018 年年初完工、假定当年投产、从投产之日起每年可获得收益40 000元。按年利率6%计算，预期10年收益的现值是多少元？已知(P/A，6%，10) =7.3601。
答案：
P=40 000× (P/A，6%，10)
=40 000×7.3601=294 404 (元)。
2、普通年金终值的计算
【例题】小金是位热心于公众事业的人，自2010年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小金向这位失学儿童每年捐款1 000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款年利率都是2%，则小金9年的捐款在2018年底相当于多少钱？已知（ F/A，2%，9）=9.7546。
答案：
F=1 000× (F/A，2%，9)
=1 000×9.7546
=9754.6(元)。
二、预付年金的计算
预付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金或即付年金。
1、预付年金现值的计算
方法一：先将其看成普通年金，套用普通年金现值的计算公式，计算出第一个A前一期位置上，即第0期期初的数值，再将其往后调整一期，得出要求的0时点（第1期期初）的数值。
方法二 ：先将其看成普通年金，但期数为n-1期的，第一期的A现值就是其本身，无需折现。然后套用普通年金现值的计算公式，计算出结果后再加上第一期期初的A。
【例题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分10年付清。若银行存款年利率为6%，则该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少元? 已知(P/A，6%，９) =6.8017； (P/A，6%，10) =7.3601。
答案：
P=A× [(P/A，i，n-1) +1]
=15 000× [(P/A，6%，10-1) +1]
=15 000×(6.8017+1) =117 025.50 (元)
或：P=A×(P/A，6%，10)×（1+ 6%)
= 15 000×7.3601×1.06
= 117 025.59(元)。
2、预付年金终值的计算
预付年金的终值是指把预付年金每个等额A都换算成第n期期未的数值，再来求和。具体而言，先将其看成普通年金，套用普通年金终值的计算公式，计算出在最后一个A位置上，即第(n-1) 期期末的数值，再将其往后调整一年，得出要求的第n期期末的终值。即：
F=A×(F/A，i，n)×(1+i) =普通年金终值×(1+i) 或：F=A×[(F/A，i，n+1)-1]
【例题】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行30 000元。若银行存款年利率为5%，则王先生在第6年年末能一次取出本利和多少钱？已知(F/A，5%，6) =6.8019；(F/A，5%，7)=8.1420。
答案：
F=A[(F/A，i，n+1) -1]
=30 000×[ (F/A，5%，6+1)-1]
=30 000×（8.1420-1）
=214 260 (元)
或：F=A×(F/A，5%，6)×（1+5%）
=30 000×6.8019×1.05
=214 259.85(元)。
三、递延年金的计算
递延年金是指隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项。
1、递延年金现值的计算
递延年金现值是指间隔一定时期后每期期末或期初收付的系列等额款项，按照复利计息方式折算的现时价值，即间隔一定时期后每期期未或期初等额收付资金的复利现值之和。
2、递延年金终值的计算
与普通年金计算相同，按A的个数计算，与递延期无关。
四、永续年金的计算
永续年金是指无限期收付的年金，即一系列没有到期日的等额现金流。
永续年金现值是指无限期地每期期末等额收付系列款项的复利现值之和。
永续年金现值可以看成是一个n无穷大时普通年金的现值，永续年金现值计算如下：
【例题】归国华侨吴先生想支持家乡建设。特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励每年高考的文理科状元各10 000元。奖学金的基金保存在中国银行该县支行。银行一年的定期存款利率为2%。问吴先生要投资多少钱作为奖励基金?
答案：由于每年都要拿出20 000元，因此奖学金的性质是一项永续年金。
其现值P=A/i=20 000/2%=1 000 000(元)；也就是说，吴先生要存入1 000 000元作为基金，才能保证这一奖学金的成功运行。
| 名称 | 名称 | 系数之间关系 |
| 复利终值系数 | 复利现值系数 | 互为倒数 |
| 普通年金终值系数 | 偿债基金系数 | 互为倒数 |
| 普通年金现值系数 | 资本回收系数 | 互为倒数 |
| 普通年金终值系数 | 预付年金终值系数 |
期数+1；系数-1 预付年金终值系数=普通年金终值系数×（1+i） |
| 普通年金现值系数 | 预付年金现值系数 |
期数-1；系数+1 预付年金现值系数=普通年金现值系数×（1+i） |
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